Question

【题目】已知函数，．

（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(2)借助题设先将问题进行等价转化,再运用导数的知识求解；(3)构造函数运用导数的知识求解和探求.

试题解析：

（1）由，得，

由题意，，所以． ………………………………3分

（2），

因为对任意两个不等的正数，都有，

设，则，即恒成立，

问题等价于函数，即在为增函数．…6分

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以，即实数的取值范围是．……………………………8分

（3）不等式等价于，

整理得．

设，由题意知，在上存在一点，使得．………10分

由．

因为，所以，即令，得．

① 当，即时，在上单调递增，

只需，解得． ………………………………………………12分

② 当，即时，在处取最小值．

令，即，可得．

考查式子，

因为，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………14分

③ 当，即时，在上单调递减，

只需，解得．

综上所述，实数的取值范围是． …………………………16分