题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若曲线在
处的切线的方程为
,求实数
的值;
(2)设,若对任意两个不等的正数
,都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若在上存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解;(2)借助题设先将问题进行等价转化,再运用导数的知识求解;(3)构造函数运用导数的知识求解和探求.
试题解析:
(1)由,得
,
由题意,,所以
. ………………………………3分
(2),
因为对任意两个不等的正数,都有
,
设,则
,即
恒成立,
问题等价于函数,即
在
为增函数.…6分
所以在
上恒成立,即
在
上恒成立,
所以,即实数
的取值范围是
.……………………………8分
(3)不等式等价于
,
整理得.
设,由题意知,在
上存在一点
,使得
.………10分
由.
因为,所以
,即令
,得
.
① 当,即
时,
在
上单调递增,
只需,解得
. ………………………………………………12分
② 当,即
时,
在
处取最小值.
令,即
,可得
.
考查式子,
因为,可得左端大于1,而右端小于1,所以不等式不能成立.……………14分
③ 当,即
时,
在
上单调递减,
只需,解得
.
综上所述,实数的取值范围是
. …………………………16分

【题目】重庆八中大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为,
只与道路畅通状况有关,对其容量为500的样本进行统计,结果如下:
| 25 | 30 | 35 | 40 |
频数(次) | 100 | 150 | 200 | 50 |
以这500次驾车单程所需时间的频率代替某人1次驾车单程所需时间的概率.
(1)求的分布列与
;
(2)某天有3位教师独自驾车从大学城校区返回本部校区,记表示这3位教师中驾车所用时间少于
的人数,求
的分布列与
;
(3)下周某天张老师将驾车从大学城校区出发,前往本部校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回大学城校区,求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟的概率.