Question

【题目】已知函数f（x）= x2+lnx（其中a≠0）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜﹣ 恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数f（x）= x2+lnx，

则 =

①当a＞0时f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，

②当a＜0时，令f′（x）=0，

时，f′（x）＞0，f（x） 为增函数，

时，f′（x）＜0，f（x） 为减函数

综上，a＞0 时，f（x） 增区间为（0，+∞）\

a＜0 时，f（x）的增区间为 ，减区间

（2）解：由（1）知a＞0 时，在f（x）在（0，+∞）递增，

且x=1时，f（1） ，

则

∴ 不恒成立，

故a＜0

又f（x）的极大值即f（x）最大

因为

只须

∴ ，即 ，

∴﹣2＜a＜0

即a的取值范围是（﹣2，0）

【解析】（1）求出导函数，当a＞0时f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，得到f（x）在（0，+∞）上递增，当a＜0时，令导函数大于0求出递增区间；导函数小于0求出递减区间．（2）利用（1）的单调性，求出函数f（x）的极值，进一步求出函数的最值，得到参数a的范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．