题目内容

【题目】如图,已知圆O外有一点P,作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N,作割线NAB,交圆于A、B两点,连接PA并延长,交圆O于点C,连续PB交圆O于点D,若MC=BC.

(1)求证:△APM∽△ABP;
(2)求证:四边形PMCD是平行四边形.

【答案】
(1)证明:∵PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,

∴MN2=PN2=NANB,

又∵∠PNA=∠BNP,

∴△PNA∽△BNP,

∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA,.

∵MC=BC,

∴∠MAC=∠BAC,

∴∠MAP=∠PAB,

∴△APM∽△ABP


(2)证明:∵∠ACD=∠PBN,

∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,

∴PM∥CD.

∵△APM∽△ABP,

∴∠PMA=∠BPA

∵PM是圆O的切线,

∴∠PMA=∠MCP,

∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,

∴MC∥PD,

∴四边形PMCD是平行四边形


【解析】(1)由切割线定理,及N是PM的中点,可得PN2=NANB,进而 ,结合∠PNA=∠BNP,可得△PNA∽△BNP,则∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA;再由MC=BC,可得∠MAC=∠BAC,再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB,进而得到△APM∽△ABP(2)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即PM∥CD;由△APM∽△ABP,PM是圆O的切线,可证得∠MCP=∠DPC,即MC∥PD;再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形.

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