题目内容
【题目】如图所示的五面体中,是正方形,
是等腰梯形,且平面
平面
,
为
的中点,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)为线段
的中点,
在线段
上,记
,
是线段
上的动点. 当
为何值时,三棱锥
的体积为定值?证明此时二面角
为定值,并求出其余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)时,
为定值;二面角
为定值的证明详见解析,余弦值为
.
【解析】
(1)余弦定理求出边OA即可利用勾股定理推出,利用面面垂直的性质推出
,则
平面
,由
平面
即可得证;(2)当
时易证
平面
,则
到平面
的距离固定即三棱锥
的体积为定值,建立空间直角坐标系,分别求出平面
、平面
的法向量
、
,代入
即可求得二面角的余弦值.
(1)由,得
,O为中点且
,则
,
故,
在中,
,所以
,则
,
根据对称性可知,从而
,所以
.
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,
所以平面
,所以
.
,
平面
,
平面
,
所以平面
,
平面
,所以平面
平面
.
(2)当时,
是
的中位线,
.
平面
,
平面
,所以
平面
,
所以到平面
的距离固定,此时,
是定值.
以点为坐标原点,
所在的直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
.
,设平面
的法向量为
,则有
,令
,得
,所以
.
由(1)可知,是平面
的一个法向量.
所以,为定值.
根据图形可知,二面角为钝角,故其余弦值为
.
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