Question

2．已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²+bc，且a=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）若△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，求b+c的值；     
（Ⅱ）求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及余弦定理可求cosA=-$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A．又由三角形面积公式可求bc，利用余弦定理即可解得b+c的值．
（Ⅱ）由正弦定理及三角形内角和定理可得b+c=4sin（B+$\frac{π}{3}$），根据范围0＜B＜$\frac{π}{3}$，利用正弦函数的有界性即可求得b+c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵a²=b²+c²+bc，∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=-\frac{1}{2}$，即cosA=-$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），∴A=$\frac{2π}{3}$．又由S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，所以bc=4，
由余弦定理得：12=a²=b²+c²-2bc•cos$\frac{2π}{3}$=b²+c²+bc，
∴16=（b+c）²，故b+c=4．…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=4，又B+C=π-A=$\frac{π}{3}$，
∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（$\frac{π}{3}$-B）=4sin（B+$\frac{π}{3}$），
∵0＜B＜$\frac{π}{3}$，则$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，则$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{3}$）≤1，
即b+c的取值范围是（2$\sqrt{3}$，4]．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．