Question

7．已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=a^1-x（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数与指数函数的定义与性质，列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x∈R}\end{array}\right.$，求出解集即可；
（2）讨论a的值，根据函数f（x）与g（x）的单调性，判断G（x）=f（x）-g（x）的单调性即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=a^1-x（其中a＞0且a≠1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x∈R}\end{array}\right.$，
解得x＞-1，
∴函数F（x）=f（x）+g（x）的定义域为{x|x＞-1}；
（2）∵f（x）=log_a（x+1），g（x）=a^1-x=a•a^-x=a•${（\frac{1}{a}）}^{x}$，
∴当a＞1时，0＜$\frac{1}{a}$＜1，f（x）是增函数，g（x）是减函数，
∴G（x）=f（x）-g（x）是增函数；
当1＞a＞0时，$\frac{1}{a}$＞1，f（x）是减函数，g（x）是增函数，
∴G（x）=f（x）-g（x）是减函数；
综上，a＞1时，G（x）=f（x）-g（x）是增函数，
1＞a＞0时，G（x）=f（x）-g（x）是减函数．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的定义与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题．