Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点F是椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点，点D是椭圆上的一个动点，且|FD|∈[1，3]．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点P（﹣4，0）作直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）：1；（Ⅱ）2．

【解析】

（Ⅰ）由点是椭圆上的一个动点,且可得:可解得：即可求得椭圆的标准方程;

（Ⅱ）设由题意设直线的方程为,联立

,得,由韦达定理、点到直线距离公式等,结合已知条件能求出面积的最大值．

（Ⅰ）由点D是椭圆上的一个动点，且|FD|∈[1，3]可得：a﹣c＝1，a+c＝3，a2＝b2+c解得：a2＝4，b2＝3，

所以椭圆的标准方程：1；

（Ⅱ）显然直线AB的斜率不为零，设直线AB的方程：x＝my﹣4，A（x，y），B（x'，y'），

联立与椭圆的方程整理得：（4+3m2）y2﹣24my+36＝0，

△＝（﹣24m）2﹣436（4+3m2）＞0，整理得m2＞4，且y+y'，yy'，

∴|AB|12

O到直线AB的距离d，

所以S△AOB|AB|d＝48482，

当且仅当，即时等号成立，

所以△AOB面积的最大值：2．