Question

10．已知点A（-3，5）B（0，3），试在直线y=x+1上找一点P，使|PA|+|PB|最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 求出B（0，3）关于直线y=x+1的对称点B′（2，1），连接AB′交直线y=x+1于P点，此时|PB|+|AP|取最小值|AB′|，由此能求出结果．

解答 解：设B（0，3）关于直线y=x+1的对称点为B′（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+3}{2}=\frac{a}{2}+1}\\{\frac{b-3}{a}=-1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴B′（2，1），连接AB′交直线y=x+1于P点，
此时|PB|+|AP|取最小值|AB′|=$\sqrt{（2+3）^{2}+（1-5）^{2}}$=$\sqrt{41}$．
直线AB′的斜率k=$\frac{5-1}{-3-2}$=-$\frac{4}{5}$，
直线AB′的方程：y-1=-$\frac{4}{5}$（x-2），即4x+5y-13=0，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{4x+5y-13=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{9}}\\{y=\frac{17}{9}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{8}{9}$，$\frac{17}{9}$）．
∴直线y=x+1上点P（$\frac{8}{9}$，$\frac{17}{9}$）使|PA|+|PB|最小，最小值为$\sqrt{41}$．

点评 本题考查使线段和最小的点的坐标及最小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称性、两点间距离公式、直线方程等知识的合理运用．