Question

设f（x）是定义在R上恒不为0的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=

1

2

，a_n=f（n）（n为常数），则数列{a_n}的前n项和S_n的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，2）
• B、[

  1

  2

  ，2]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[

  1

  2

  ，1）

Answer 1

分析：依题意分别求出f（2），f（3），f（4）进而发现数列{a_n}是以

1

2

为首项，以

1

2

的等比数列，进而可以求得S_n，进而S_n的取值范围．

解答：解析：f（2）=f²（1），f（3）=f（1）f（2）=f³（1），
f（4）=f（1）f（3）=f⁴（1），a₁=f（1）=

1

2

，
∴f（n）=（

1

2

）ⁿ，
∴S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

∈[

1

2

，1）．
答案：D

点评：本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．