题目内容
【题目】已知点,在圆
:
上任取一点
,
的垂直平分线交
于点
.(如图).
(1)求点的轨迹方程
;
(2)若过点的动直线
与(1)中的轨迹
相交于
、
两点.问:平面内是否存在异于点
的定点
,使得
恒成立?试证明你的结论.
【答案】(1)
(2)存在,证明见解析
【解析】
(1)利用垂直平分线的性质可得,从而得到点
的轨迹是以
,
为焦点的椭圆;
(2)先考虑当直线轴和直线
轴的情况得到定点
;再考虑对直线的一般情况都有点
满足题意.
(1)依题意得,,
故点的轨迹是以
,
为焦点的椭圆,
,
,
,
因此,所求的轨迹是椭圆:
.
(2)当直线轴时,由
得
知点
在
轴上,可设
.
当直线轴时,
,
,由
得
,或
.
因此,若存在异于点的定点
满足题意,则点
的坐标为
.
下面我们来证明:对任意直线均有
.
当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立.
当直线的斜率存在时,可设直线
:
,
,
.
把代入
得
,
由于点在椭圆
的内部,故判别式
.所以
,
,
,
易知点关于
轴的对称点为
,
而,
又,
所以,
即、
、
三点共线,
,
综上知,存在异于点的定点
满足题意.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】据《人民网》报道,“美国国家航空航天局(NASA)发文称,相比20年前世界变得更绿色了,卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林,下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据.(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)单位:公顷
按造林方式分 | ||||||
地区 | 造林总面积 | 人工造林 | 飞播造林 | 新封山育林 | 退化林修复 | 人工更新 |
内蒙 | 618484 | 311052 | 74094 | 136006 | 90382 | 6950 |
河北 | 583361 | 345625 | 33333 | 135107 | 65653 | 3643 |
河南 | 149002 | 97647 | 13429 | 22417 | 15376 | 133 |
重庆 | 226333 | 100600 | 62400 | 63333 | ||
陕西 | 297642 | 184108 | 33602 | 63865 | 16067 | |
甘肃 | 325580 | 260144 | 57438 | 7998 | ||
新疆 | 263903 | 118105 | 6264 | 126647 | 10796 | 2091 |
青海 | 178414 | 16051 | 159734 | 2629 | ||
宁夏 | 91531 | 58960 | 22938 | 8298 | 1335 | |
北京 | 19064 | 10012 | 4000 | 3999 | 1053 |
(Ⅰ)请根据上述数据,分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区;
(Ⅱ)在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少?
(Ⅲ)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中,任选两个地区,求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率.