题目内容
【题目】已知椭圆:的焦距为,点在椭圆上,且的最小值是(为坐标原点).
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知动直线与圆:相切,且与椭圆交于,两点.是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在
【解析】
(1)根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程;
(2)分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论,相切即圆心到直线距离等于半径,即向量的数量积为零,进行代数运算即可求解.
(1)因为的最小值是,所以,
因为椭圆的焦距为,所以,即,
所以,
故椭圆的标准方程是;
(2)①当直线的斜率不存在时,
因为直线与圆相切,所以直线的方程为,
则直线与椭圆的交点为或,
因为,所以,所以,即,
②当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,,.
联立,整理得,
则,,
因为,在直线上,所以,
将,代入上式,得,
因为,所以,即,
因为动直线与圆相切,所以,所以,即,
综上,存在,使得.
【题目】某公司为了解某产品的获利情况,将今年1至7月份的销售收入(单位:万元)与纯利润(单位:万元)的数据进行整理后,得到如下表格:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
销售收入 | 13 | 13.5 | 13.8 | 14 | 14.2 | 14.5 | 15 |
纯利润 | 3.2 | 3.8 | 4 | 4.2 | 4.5 | 5 | 5.5 |
该公司先从这7组数据中选取5组数据求纯利润关于销售收入的线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.假设选取的是2月至6月的数据.
(1)求纯利润关于销售收入的线性回归方程(精确到0.01);
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检验数据的误差均不超过0.1万元,则认为得到的线性回归方程是理想的.试问该公司所得线性回归方程是否理想?
参考公式:,,,;参考数据:.
【题目】众所周知,城市公交车的数量太多会造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求,为此,某市公交公司在某站台的50名候车乘客中随机抽取10名,统计了他们的候车时间(单位:分钟),得到下表.
候车时间 | 人数 |
1 | |
4 | |
2 | |
2 | |
1 |
(1)估计这10名乘客的平均候车时间(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替);
(2)估计这50名乘客的候车时间少于10分钟的人数.