题目内容

【题目】已知椭圆的焦距为,点在椭圆上,且的最小值是为坐标原点).

1)求椭圆的标准方程.

2)已知动直线与圆相切,且与椭圆交于两点.是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2)存在

【解析】

1)根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程;

2)分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论,相切即圆心到直线距离等于半径,即向量的数量积为零,进行代数运算即可求解.

1)因为的最小值是,所以

因为椭圆的焦距为,所以,即

所以

故椭圆的标准方程是

2)①当直线的斜率不存在时,

因为直线与圆相切,所以直线的方程为

则直线与椭圆的交点为

因为,所以,所以,即

②当直线的斜率存在时,可设直线的方程为.

联立,整理得

因为在直线上,所以

代入上式,得

因为,所以,即

因为动直线与圆相切,所以,所以,即

综上,存在,使得.

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