题目内容
【题目】耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻。还水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉。某实验基础为了研究海水浓度
（
）对亩产量
（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种还水稻的亩产量与海水浓度的数据如下表：
海水浓度 |
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亩产量 |
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绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与
之间的线性回归方程为
.
(1)求出
的值，并估算当浇灌海水浓度为8%时该品种的亩产量。
(2)①完成下列残差表：
海水浓度 |
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亩产量 |
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| |||||
残差 |
②统计学中常用相关指数
来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，如假设
，就说明预报变量的差异有
是由解释变量引起的.请计算相关指数（精确到0.01），并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的.
（附：残差公式
，相关指数
，参考数据
）
【答案】(1) 
亩产量为
吨。(2) ①见解析； ②亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的
【解析】
（1）计算
、
，代入线性回归方程求得
的值，写出回归方程，再利用回归方程预测
时
的值；
（2）①根据公式计算并填写残差表；②由公式计算相关指数
，结合题意得出统计结论．
解：（1）经计算
由
可得
当时，
，
所以当海水浓度为
时，该品种的亩产量为吨。
（2）①由（1）知
，从而有残差表如下
海水浓度 |
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亩产量 |
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残差 |
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②
所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的
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【题目】甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元.
(I)请将两家公司各一名推销员的日工资
(单位: 元) 分别表示为日销售件数
的函数关系式;
(II)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图。若记甲公司该推销员的日工资为
,乙公司该推销员的日工资为
(单位: 元)，将该频率视为概率，请回答下面问题:
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
【答案】(I)见解析； (Ⅱ)见解析.
【解析】分析：(I)依题意可得甲公司一名推销员的工资与销售件数的关系是一次函数的关系式，而乙公司是分段函数的关系式，由此解得；(Ⅱ)分别根据条形图求得甲、乙公司一名推销员的日工资的分布列，从而可分别求得数学期望，进而可得结论.
详解：(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资
(单位:元) 与销售件数
的关系式为: 
.
乙公司一名推销员的日工资
(单位: 元) 与销售件数
的关系式为: 
(Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为
(单位: 元),由条形图可得
的分布列为
| 122 | 124 | 126 | 128 | 130 |
| 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
记乙公司一名推销员的日工资为
(单位: 元),由条形图可得
的分布列为
| 120 | 128 | 144 | 160 |
| 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
∴
∴仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为菱形， 
平面
， 
， 
， 
， 
分别是
， 
的中点.
（1）证明： 
；
（2）设
为线段
上的动点，若线段
长的最小值为
，求二面角
的余弦值.
