Question

【题目】已知函数是定义在R上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过定点．

（1）求函数的解析式；

（2）若关于x的方程，有解，求实数a的取值范围；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）设出的解析式，根据点求得的解析式.根据为奇函数，求得解析式.

（2）根据的单调性和值域，求得的取值范围.

（3）证得的单调性，结合的奇偶性化简不等式，得到对任意的，，利用二次函数的性质求得的取值范围.

（1）设(，且)，则，

所以 (舍去)或，

所以，．

又为奇函数，且定义域为R，

所以，即，所以，

所以．

（2）由于为上减函数，由于，所以，所以，所以.

（3）设，

则．

因为，所以，

所以，

所以，即，

所以函数在R上单调递减．

要使对任意的，

恒成立，

即对任意的，

恒成立．

因为为奇函数，

所以恒成立．

又因为函数在R上单调递减，

所以对任意的，恒成立，

即对任意的，恒成立．

令，，

时，成立；

时，

所以，．

，，无解．

综上，．