题目内容

9.对于函数f(x),若对于任意的x1,x2,x3∈R,f(x1),f(x2),f(x3)为某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构成三角形的函数”.已知函数f(x)=$\frac{{{e^x}+t}}{{{e^x}+1}}$是“可构成三角形的函数”,则实数t的取值范围是(   A )(  )
A.$[{\frac{1}{2},2}]$B.[0,1]C.[1,2]D.(0,+∞)

分析 因对任意实数a、b、c,都存在以f(a)、f(b)、f(c)为三边长的三角形,则f(a)+f(b)>f(c)恒成立,将f(x)解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,整个式子的取值范围由t-1的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数的值域,然后讨论k转化为f(a)+f(b)的最小值与f(c)的最大值的不等式,进而求出实数k 的取值范围

解答 解:由题意可得f(a)+f(b)>f(c)对于?a,b,c∈R都恒成立,
由于f(x)=$\frac{{{e^x}+t}}{{{e^x}+1}}$=$1+\frac{t-1}{{e}^{x}+1}$是“可构成三角形的函数”,
①当t-1=0,f(x)=1,此时,f(a),f(b),f(c)都为1,构成一个等边三角形的三边长,满足条件.
②当t-1>0,f(x)在R上是减函数,1<f(a)<1+t-1=t,
同理1<f(b)<t,1<f(c)<t,
由f(a)+f(b)>f(c),可得 2≥t,解得1<t≤2.
③当t-1<0,f(x)在R上是增函数,t<f(a)<1,
同理t<f(b)<1,t<f(c)<1,
由f(a)+f(b)>f(c),可得 2t≥1,解得1>t≥$\frac{1}{2}$.
综上可得,$\frac{1}{2}$≤t≤2,
故实数t的取值范围是[$\frac{1}{2}$,2];
故选:A.

点评 本题主要考查了求参数的取值范围,以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域,同时考查了分类讨论的思想,属于难题

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