Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）对于任意，，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分类讨论，详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）当时，求出可得切线的斜率，从而得到切线方程.

（Ⅱ）求出后就讨论其符号后可得函数的单调区间.

（Ⅲ）就、、、 、分类讨论后可得的最大值和最小值，从而得到关于的不等式组，其解即为所求的取值范围.

解：（Ⅰ）当时，因为

所以，.

又因为，

所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）因为，

所以.

令，解得或.

若，当即或时，

故函数的单调递增区间为；

当即时，故函数的单调递减区间为.

若，则，

当且仅当时取等号，故函数在上是增函数.

若，当即或时，

故函数的单调递增区间为；

当即时，故函数的单调递减区间为.

综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；

时，函数单调递增区间为；

时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅲ） 由题设，只要即可.

令，解得或.

当时，随变化， 变化情况如下表：

		减	极小值	增

由表可知，此时 ，不符合题意.

当时，随变化， 变化情况如下表：

		增	极大值	减	极小值	增

由表可得，

且，，

因，所以只需，

即 ，解得.

当时，由（Ⅱ）知在为增函数，

此时，符合题意.

当时，

同理只需，即 ，解得.

当时，，，不符合题意.

综上，实数的取值范围是.