题目内容
【题目】【2018衡水金卷(三)】如图所示,在三棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
.
(I)证明: 平面
;
(II)若二面角的平面角的大小为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(I)见解析;(II)直线与平面
所成角的正弦值为
.
【解析】【试题分析】(1)用余弦定理求得,故三角形
为直角三角形,即
,根据面面垂直的性质定理可知
平面
,所以
,结合
可得
平面
.(2)过点
作
,垂足为
,连接
.易证得
即为直线
与平面
所成的角.计算的
的长度,两者相比即得到所求线面角的正弦值为
【试题解析】
(1)在中,因为
,
,
,
所以由余弦定理,可知
,
所以.故
,即有
.
又因为平面平面
,且平面
平面
,
平面
,
所以平面
.又
平面
,所以
.
又因为,
,所以
平面
.
(2)过点作
,垂足为
,连接
.
由(1),知平面
,
平面
,
所以.又
,所以
平面
,
因此即为直线
与平面
所成的角.
又由(1)的证明,可知平面
,
又平面
,
平面
,所以
,
,
故即为二面角
的平面角,即
.
故在中,由
,得
.
在中,
,
且
.
因此在中,得
,
故直线与平面
所成角的正弦值为
.
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