Question

17．已知△ABC中，点A（-1，0），B（1，0），动点C满足|CA|+|CB|=λ|AB|（常数λ＞1），C点的轨迹为Γ．
（Ⅰ） 试求曲线Γ的轨迹方程；
（Ⅱ） 当λ=$\sqrt{3}$时，过定点B（1，0）的直线与曲线Γ相交于P，Q两点，N是曲线Γ上不同于P，Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中，因为|AB|=2，所以|CA|+|CB|=2λ（定值），且2λ＞2，由椭圆的定义计算即可；
（II）当λ=$\sqrt{3}$时，椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1（x≠±\sqrt{3}）$．分过定点B（1，0）的直线与x轴重合与不重合两种情况讨论．对于过定点B（1，0）的直线不与x轴重合时，通过设l方程，并与椭圆联立，利用韦达定理及点到直线的距离公式、三角形面积公式、换元法以及函数的单调性，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为|AB|=2，所以|CA|+|CB|=2λ（定值），且2λ＞2，（2分）
所以动点C的轨迹Γ为椭圆（除去与A、B共线的两个点）．
设其标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，所以a²=λ²，b²=λ²-1，（3分）
所以所求曲线的轨迹方程为$\frac{x^2}{λ^2}+\frac{y^2}{{{λ^2}-1}}=1（x≠±λ）$．（4分）
（Ⅱ）当$λ=\sqrt{3}$时，椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1（x≠±\sqrt{3}）$．（5分）
①过定点B的直线与x轴重合时，△NPQ面积无最大值．（6分）
②过定点B的直线不与x轴重合时，
设l方程为：x=my+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
若m=0，因为$x≠±\sqrt{3}$，故此时△NPQ面积无最大值．
根据椭圆的几何性质，不妨设m＞0．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$消去x整理得：（3+2m²）y²+4my-4=0，（7分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=\frac{-4m}{{3+2{m^2}}}\\{y_1}{y_2}=\frac{-4}{{3+2{m^2}}}\end{array}\right.$则$|PQ|=\sqrt{1+{m^2}}|{y_1}-{y_2}|=\frac{{4\sqrt{3}（{m^2}+1）}}{{3+2{m^2}}}$．（8分）
因为当直线与l平行且与椭圆相切时，切点N到直线l的距离最大，
设切线$l'：x=my+n\;（n＜\sqrt{3}）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+n\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$消去x整理得（3+2m²）y²+4mny+2n²-6=0，
由△=（4mn）²-4（3+2m²）（2n²-6）=0，解得${n^2}=3+2{m^2}（n＜-\sqrt{3}）$．
又点N到直线l的距离$d=\frac{|n-1|}{{\sqrt{{m^2}+1}}}$，（9分）
所以${S_{△PMN}}=\frac{1}{2}•|PQ|•d=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{3}（{m^2}+1）}}{{3+2{m^2}}}×\frac{|n-1|}{{\sqrt{{m^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{3}|n-1|\sqrt{{m^2}+1}}}{{3+2{m^2}}}$，（10分）
所以${S^2}=\frac{{12{{（n-1）}^2}（{m^2}+1）}}{{{{（3+2{m^2}）}^2}}}$．将n²=3+2m²代入得：${S^2}=6{（1-\frac{1}{n}）^2}（1-\frac{1}{n^2}）$，
令$t=\frac{1}{n}∈（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）$，设函数f（t）=6（1-t）²（1-t²），则f'（t）=-12（t-1）²（2t+1），
因为当$t∈（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{1}{2}）$时，f'（t）＞0，当$t∈（-\frac{1}{2}，0）$时，f'（t）＜0，
所以f（t）在$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{1}{2}）$上是增函数，在$（-\frac{1}{2}，0）$上是减函数，所以${f_{max}}（t）=f（-\frac{1}{2}）=\frac{81}{8}$．
故${m^2}=\frac{1}{2}$时，△NPQ面积最大值是$\frac{{9\sqrt{2}}}{4}$．
所以，当l的方程为$x=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}y+1$时，△NPQ的面积最大，最大值为$\frac{{9\sqrt{2}}}{4}$．（13分）

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆的方程、三角形的面积最大值，考查分类讨论的思想、考查计算求解能力，涉及到韦达定理、点到直线的距离公式、三角形面积公式、换元法以及函数的单调性等知识，注意解题方法的积累，属于难题．