题目内容

5.如图所示,点E为矩形ABCD边CD的中点,AB=2,AD=$\sqrt{2}$,将△ADE沿AE折起到△AD1E的位置,使得平面AD1E⊥平面ABCE,连接BD1、CD1,得到如图乙所示的几何体.
(1)证明:AE⊥BD1
(2)求点C到平面ABD1的距离.

分析 (1)过点D1作D1O⊥AE,交AE于点O,连结BO,由已知得D1O⊥平面ABCE,AD1=$\sqrt{2}$,D1E=1,AE=BE=$\sqrt{3}$,D1O=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,AO=$\sqrt{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,EO=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,求出BO,从而得到AO⊥BO,进而得到AE⊥平面BOD1,由此能证明AE⊥BD1
(2)点C到平面ABD1的距离等于点E到平面ABD1的距离,利用等体积求点C到平面ABD1的距离.

解答 (1)证明:过点D1作D1O⊥AE,交AE于点O,连结BO,
∵点E为矩形ABCD边CD的中点,AB=2,AD=$\sqrt{2}$,
将△ADE沿AE折起到△AD1E的位置,使得D1-AE-B为直二面角,
∴D1O⊥平面ABCE,AD1=$\sqrt{2}$,D1E=1,AE=BE=$\sqrt{3}$,
D1O=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,AO=$\sqrt{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
EO=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
cos∠BAO=$\frac{4+3-3}{2×2×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
BO=$\sqrt{4+\frac{4}{3}-2×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,
∴AO2+BO2=AB2,∴AO⊥BO,
∴∠BOD1是直二面角D1-AE-B的平面角,
∴∠BOD1=90°,
∵BO⊥AE,D1O⊥AE,BO∩OD1=O,
∴AE⊥平面BOD1,∵BD1?平面BOD1
∴AE⊥BD1
(2)解:∵CE∥AB,
∴点C到平面ABD1的距离等于点E到平面ABD1的距离,设为h,
则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$h,
∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,
∴点C到平面ABD1的距离等于$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

点评 本题考查异面直线垂直的证明,考查点C到平面ABD1的距离的求法,解题时要认真审题,注意等体积法的合理运用.

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