题目内容
【题目】设函数在
内有极值.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若x1∈(0,1),x2∈(1,+∞).求证:f(x2)-f(x1)>e+2-.注:e是自然对数的底数.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】分析:(1)函数的定义域为,求导数,利用函数
在
内有极值,可得
在
内有解,令
,根据
,可设
,则
,从而可求实数
的取值范围.
(2)求导函数确定函数的单调性,进而由
,可得
,由
,可得
,所以
,又
,即
,可得
在
上单调递增,从问题得证.
详解:(1)易知函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),
f′(x)=-
=
=
.
由函数f(x)在内有极值,可知方程f′(x)=0在
内有解,令g(x)=x2-(a+2)x+1=(x-α)(x-β).
不妨设0<α<,则β>e,又g(0)=1>0,
所以g=
-
+1<0,解得a>e+
-2.
(2)证明 由(1)知f′(x)>00<x<α或x>β,
f′(x)<0α<x<1或1<x<β,
所以函数f(x)在(0,α),(β,+∞)上单调递增,在(α,1),(1,β)上单调递减.
由x1∈(0,1)得f(x1)≤f(α)=ln α+,
由x2∈(1,+∞)得f(x2)≥f(β)=ln β+,
所以f(x2)-f(x1)≥f(β)-f(α).
由(1)易知α·β=1,α+β=a+2,
所以f(β)-f(α)=ln β-ln+a
=2ln β+a·
=2ln β+a·
=2lnβ+β-
.
记h(β)=2ln β+β- (β>e),
则h′(β)=+1+
=
2>0,
所以函数h(β)在(e,+∞)上单调递增,
所以f(x2)-f(x1)≥h(β)>h(e).
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】[2019·清远期末]一只红铃虫的产卵数和温度
有关,现收集了4组观测数据列于下表中,根据数据作出散点图如下:
温度 | 20 | 25 | 30 | 35 |
产卵数 | 5 | 20 | 100 | 325 |
(1)根据散点图判断与
哪一个更适宜作为产卵数
关于温度
的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于
的回归方程(数字保留2位小数);
(3)要使得产卵数不超过50,则温度控制在多少以下?(最后结果保留到整数)
参考数据:,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
5 | 20 | 100 | 325 | |
1.61 | 3 | 4.61 | 5.78 |