题目内容
(本题满分15分) 如图,四边形中,为正三角形,,,与交于点.将沿边折起,使点至点,已知与平面所成的角为,且点在平面内的射影落在内.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若已知二面角的余弦值为,求的大小.
(Ⅰ)只需证、即可;(Ⅱ)。
解析试题分析:(Ⅰ)易知为的中点,
则,又,
又,平面,
所以平面 (5分)
(Ⅱ)方法一:以为轴,为轴,过垂直于
平面向上的直线为轴建立如图所示空间
直角坐标系,则, (7分)
易知平面的法向量为 (8分)
,设平面的法向量为
则由得,
解得,,令,则 (11分)
则
解得,,即,即,
又,∴ 故.(15分)
考点:线面垂直的判定定理;线面角;二面角的求法。
点评:用综合法求二面角,往往需要作出平面角,这是几何中一大难点,而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可,从而体现了空间向量的巨大作用.二面角的向量求法: ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角; ②设分别是二面角的两个面α,β的法向量,则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。
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