题目内容

13.已知函数f(x)=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin${\;}^{2}\frac{x}{2}$.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.

分析 (Ⅰ)运用二倍角公式和两角和的正弦公式,化简f(x),再由正弦函数的周期,即可得到所求;
(Ⅱ)由x的范围,可得x+$\frac{π}{4}$的范围,再由正弦函数的图象和性质,即可求得最小值.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin${\;}^{2}\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$(1-cosx)
=sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=sin(x+$\frac{π}{4}$)-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
则f(x)的最小正周期为2π;
(Ⅱ)由-π≤x≤0,可得
-$\frac{3π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{4}$,
即有-1$≤sin(x+\frac{π}{4})≤\frac{\sqrt{2}}{2}$,
则当x=-$\frac{3π}{4}$时,sin(x+$\frac{π}{4}$)取得最小值-1,
则有f(x)在区间[-π,0]上的最小值为-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

点评 本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式,同时考查正弦函数的周期和值域,考查运算能力,属于中档题.

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