题目内容
【题目】椭圆与双曲线有相同的焦点,
,椭圆的一个短轴端点为
,直线
与双曲线的一条渐近线平行,若椭圆于双曲线的离心率分别为
,
,则
的最小值为__________.
【答案】
【解析】由题意可知,双曲线的焦点在轴上,设椭圆的长轴为
,短轴为
,双曲线的实轴为
,虚轴为
,
椭圆的一个短轴端点为
,直线
与双曲线的一条渐近线平行,
,即
,平方可得,
,由此得到
,即
,
,由
,
都是正数,
,当且仅当
,即
时,等号成立,
的最小值
,故答案为
.
【易错点晴】本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质以及利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或
时等号能否同时成立).
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