题目内容
【题目】已知在函数(
)的所有切线中,有且仅有一条切线
与直线
垂直.
(1)求的值和切线
的方程;
(2)设曲线在任一点处的切线倾斜角为
,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
或
.
【解析】试题分析:(1)由已知可得函数的导函数,即切线斜率的函数,因为在曲线的所有切线中,有且仅有一条切线
与直线
垂直,所以导函数只有一个实根,进而易得
的值与切线
的方程.(2)因为在曲线
的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线
垂直,显然切线斜率
从而可以解出
的范围.
试题解析:
(1),由题意知,方程
有两个相等的根,
∴,∴
.
此时方程化为
,得
,
解得切点的纵坐标为,
∴切线的方程为
,即
.
(2)设曲线上任一点
处的切线的斜率为
(由题意知
存在),
则由(1)知,
∴由正切函数的单调性可得的取值范围为
或
.
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