Question

13．已知函数f（x）=x²-ax+1，其中a∈R，且a≠0．
（1）若f（x）在[-1，1]上不是单调函数，求a的取值范围；
（2）求y=|f（x）|在区间[0，|a|]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，-1＜$\frac{a}{2}$＜1，由此求得a的范围．
（2）由条件利用二次函数的性质，分类讨论求得y=|f（x）|在区间[0，|a|]上的最大值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-ax+1在[-1，1]上不是单调函数，∴-1＜$\frac{a}{2}$＜1，∴-2＜a＜2．
（2）①当a＜0时，y=|f（x）|在区间[0，|a|]上递增，∴y=|f（x）|的最大值为2a²+1．
②当a＞0时，f（0）=f（|a|）=1，f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当0＜a≤2$\sqrt{2}$ 时，y=|f（x）|的最大值为1．
当a＞2$\sqrt{2}$时，y=|f（x）|的最大值为$\frac{{a}^{2}}{4}$-1．
∴综上，|f（x）|_max=$\left\{\begin{array}{l}{{2a}^{2}+1，a＜0}\\{1，0＜a≤2\sqrt{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-1，a＞2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．