题目内容
【题目】在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且 
（1）确定∠C的大小；
（2）若c= 
，求△ABC周长的取值范围．
【答案】
（1）解：由 
a=2csinA，
由正弦定理，得 sinA=2sinCsinA，
又sinA≠0，
则sinC= 
，
∴∠C=60°或∠C=120°，
∵△ABC为锐角三角形，
∴∠C=120°舍去．
∴∠C=60°
（2）解：∵c= ，sinC=
∴由正弦定理得： 
，
即a=2sinA，b=2sinB，
又A+B=π﹣C= 
，即B= ﹣A，
∴a+b+c=2（sinA+sinB）+
=2[sinA+sin（ ﹣A）]+
=2（sinA+sin cosA﹣cos sinA）+
=3sinA+ cosA+
=2 （sinAcos 
+cosAsin ）+
=2 sin（A+ ）+ ，
∵△ABC是锐角三角形，
∴ ＜∠A＜ 
，
∴ ＜sin（A+ ）≤1，
则△ABC周长的取值范围是（3+ ，3 ]
【解析】（1）由正弦定理进行边角互化，求出sinC=，由于三角形ABC为锐角三角形，故∠C=60°，（2）根据正弦定理进行边角互化，得出a=2sinA，b=2sinB，由辅助角公式和两角差的正弦公式进行化简，结合正弦公式即可得到△ABC周长的取值范围.
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