题目内容
【题目】已知函数f（x）=aln（x+1）+ 
x2﹣x，其中a为非零实数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若y=f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求证： 
＜ ．
【答案】
（1）解：f′（x）= 
，x＞1，
当a﹣1≥0即a≥1时f′（x）≥0，
∴f（x）在（﹣1，+∞）递增，
当0＜a＜1时，由f′（x）=0，
∴x1=﹣ 
＞﹣1，x2= ，
∴f（x）在（﹣1，﹣ ）递增，在（﹣ ， ）递减，在（ ，+∞）递增，
当a＜0时，∵x1＜﹣1，∴f（x）在（﹣1， ）递减，在（ ，+∞）递增
（2）证明：∵0＜a＜1且x1=﹣ ，x2= ，
∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），
＜ 
＜ f（x2）+ x2＞0
aln（x2+1）+ 
﹣ x2＞0
（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，
令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），
∵g′（x）=ln（x+1）+ ＞0，
∴g（x）在（0，1）递增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴命题得证
【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）所证问题转化为（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧
,那么
是极小值才能得出正确答案．
