题目内容
在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD;
(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成二面角的大小。
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
解析试题分析:(Ⅰ)因为平面VAD⊥平面ABCD,平面VAD∩平面ABCD=AD,
又AB在平面ABCD内,AD⊥AB,所以AB⊥平面VAD. …3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥AB,AB⊥AV.
依题意设AB=AD=AV=1,所以BV=BD=. …6分
设VD的中点为E,连结AE、BE,则AE⊥VD,BE⊥VD,
所以∠AEB是面VDA与面VDB所成二面角的平面角. …9分
又AE=,BE=,所以
故,面VAD与面VDB所成二面角的大小为. …12分
(方法二)
(Ⅰ)同方法一. …3分
(Ⅱ)设AD的中点为O,连结VO,则VO⊥底面ABCD.
又设正方形边长为1,建立空间直角坐标系如图所示. …4分
则,A(,0,0), B(,1,0),
D(-,0,0), V(0,0,);
. …7分
由(Ⅰ)知是平面VAD的法向量.设是平面VDB的法向量,则
…10分
∴
由图知,面VAD与面VDB所成的二面角为锐角,
故,面VAD与面VDB所成二面角的大小为. …12分
考点:本小题主要考查空间中线面垂直的证明以及二面角的求法,考查学生的空间想象能力及推理论证能力和计算能力.
点评:本小题的难点在于第二问求二面角,用向量法求解二面角时,要正确判断法向量的方向,同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补,一个指向内另一个指向外则相等.