Question

14．已知函数f（x）=sin（x-$\frac{1}{2}$）-$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$，当$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$时，不等式f（x）•log₂（x-2^m+$\frac{3}{4}$）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，-2]．

Answer 1

分析 令x-$\frac{1}{2}$=t（0＜t＜1），f（x）化为sint-$\frac{1}{2}$t，求出导数，判断单调性，可得f（x）在$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$递增，即有f（x）＞0成立，由题意可得log₂（x-2^m+$\frac{3}{4}$）＞0恒成立，运用对数函数的单调性和恒成立思想，即可得到m的范围．

解答 解：令x-$\frac{1}{2}$=t（0＜t＜1），
函数f（x）=sin（x-$\frac{1}{2}$）-$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$=sint-$\frac{1}{2}$t，
导数为cost-$\frac{1}{2}$，
由0＜t＜1可得$\frac{1}{2}$＜cos1＜cost＜1，
即有cost-$\frac{1}{2}$＞0，则f（x）在$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$递增，
即有f（x）＞0成立，
由f（x）•log₂（x-2^m+$\frac{3}{4}$）＞0恒成立，
即为log₂（x-2^m+$\frac{3}{4}$）＞0恒成立，
即有x-2^m+$\frac{3}{4}$＞1在$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$恒成立．
则2^m＜x-$\frac{1}{4}$，由$\frac{1}{4}$＜x-$\frac{1}{2}$＜1，可得2^m≤$\frac{1}{4}$，
解得m≤-2，
故答案为：（-∞，-2]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性和对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．