Question

4．已知二次函数y=f（x）的图象经过点（0，-8），（1，-5），（3，7）三点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的零点；
（3）若x∈[t，t+2]，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求f（x）的解析式；
（2）令f（x）=0，求f（x）的零点；
（3）若x∈[t，t+2]，分类讨论求f（x）的最小值．

解答 解：（1）设函数解析式为y=ax²+bx+c，
由题意$\left\{\begin{array}{l}{c=-8}\\{a+b+c=-5}\\{9a+3b+c=7}\end{array}\right.$，解得a=1，b=2，c=-8，
∴f（x）=x²+2x-8．
（2）令f（x）=0得x=2或x=-4，
∴零点是2，-4．
（3）f（x）=（x+1）²-9，
t+2≤-1，即t≤-3时，函数在[t，t+2]上单调递减，f（x）_min=f（t+2）=（t+3）²-9；
t＜-1＜t+2，即-3＜t＜-1时，函数在[t，-1）上单调递减，在（-1，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（-1）=-9；
t≥-1时，函数在[t，t+2]上单调递减增，f（x）_min=f（t）=（t+1）²-9．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的零点，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．