题目内容
【题目】已知函数,其中, 为自然对数的底数.
(1)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;
(2)若,函数在区间内有零点,证明: .
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)由题意知. .
由于, ,根据两个区间关系,分, , 三种情况讨论。(2)由, 在区间内有零点,设为在区间内的一个零点,则由可知, 在区间上不可能单调递增,也不可能单调递减.由(1)知., 在区间上单调递减,在区间上单调递增.因此, , , .解得.
试题解析:(Ⅰ)由,有.
所以.
因此,当时, .
当时, ,所以在上单调递增,
因此在上的最小值是;
当时, ,所以在上单调递减,
因此在上的最小值是;
当时,令,得.
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
于是在上的最小值是.
综上所述,
当时, 在上的最小值是;
当时, 在上的最小值是;
当时, 在上的最小值是.
(Ⅱ)设为在区间内的一个零点,则由可知,
在区间上不可能单调递增,也不可能单调递减.
则不可能恒为正,也不可能恒为负.
故在区间内存在零点.
同理在区间内存在零点.
所以在区间内至少有两个零点.
由(Ⅰ)知,当时, 在上单调递增,故在内至多有一个零点.
当时, 在上单调递减,故在内至多有一个零点.
所以.
此时, 在区间上单调递减,在区间上单调递增.
因此, ,必有
, .
由有,
由, .
解得.
所以,函数在区间内有零点时, .
【题目】沪昆高速铁路全线2016年12月28日开通运营.途经鹰潭北站的、两列列车乘务组工作人员为了了解乘坐本次列车的乘客每月需求情况,分别在两个车次各随机抽取了100名旅客进行调查,下面是根据调查结果,绘制了月乘车次数的频率分布直方图和频数分布表.
(1)若将频率视为概率,月乘车次数不低于15次的称之为“老乘客”,试问:哪一车次的“老乘客”较多,简要说明理由;
(2)已知在次列车随机抽到的50岁以上人员有35名,其中有10名是“老乘客”,由条件完成列联表,并根据资料判断,是否有的把握认为年龄与乘车次数有关,说明理由.
老乘客 | 新乘客 | 合计 | |
50岁以上 | |||
50岁以下 | |||
合计 |
附:随机变量(其中为样本容量)
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |