题目内容

【题目】已知函数,其中 为自然对数的底数.

(1)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;

(2)若,函数在区间内有零点,证明:

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析:(1)由题意知

由于 ,根据两个区间关系,分 三种情况讨论。(2)由 在区间内有零点,设在区间内的一个零点,则由可知, 在区间上不可能单调递增,也不可能单调递减.由(1)知., 在区间上单调递减,在区间上单调递增.因此 .解得

试题解析:(Ⅰ)由,有

所以

因此,当时,

时, ,所以上单调递增,

因此上的最小值是

时, ,所以上单调递减,

因此上的最小值是

时,令,得

所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,

于是上的最小值是

综上所述,

时, 上的最小值是

时, 上的最小值是

时, 上的最小值是

(Ⅱ)设在区间内的一个零点,则由可知,

在区间上不可能单调递增,也不可能单调递减.

不可能恒为正,也不可能恒为负.

在区间内存在零点

同理在区间内存在零点

所以在区间内至少有两个零点.

由(Ⅰ)知,当时, 上单调递增,故内至多有一个零点.

时, 上单调递减,故内至多有一个零点.

所以

此时, 在区间上单调递减,在区间上单调递增.

因此 ,必有

解得

所以,函数在区间内有零点时,

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