Question

【题目】已知f（x）=e2x﹣x2﹣a．
（1）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；
（2）当a=1时，解不等式f[f（x）]＞x；
（3）若f[f（x）﹣x2﹣2x]＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，求a的最大整数值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f'（x）=2e2x﹣2x=2（e2x﹣x），

设g（x）=e2x﹣x，g'（x）=2e2x﹣1=0， ， ，

x，g′（x），g（x）的变化如下：

x	（﹣∞， ln ）	ln	（ ln ，+∞）
g′（x）	﹣	0	+
g（x）	↓	极小值	↑

∴ = ，

∴g（x）＞0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在R上为增函数

（2）解：a=1时，f（x）=e2x﹣x2﹣1，

∵f（x）在R上为增函数，∴若f（x）≤x，

则f[f（x）]≤f（x）≤x，与f[f（x）]＞x矛盾；

若f（x）＞x，则f[f（x）]＞f（x）＞x，故成立．

经化简f[f（x）]＞x，则f（x）＞x，∴e2x﹣x2﹣1＞x，即e2x＞x2+x+1，

∵x2+x+1＞0，即2x＞ln（x2+x+1），

∴设h（x）=2x﹣ln（x2+x+1），

h′（x）=2﹣ = ＞0，

∴h（x）在R上为增函数，∴h（x）＞h（0），得x＞0，

∴原不等式解集为（0，+∞）

（3）解：∵f（x）在R上为增函数，∴f（x）﹣x2﹣2x＞x，即e2x﹣2x2﹣3x＞a，

令G（x）=e2x﹣2x2﹣3x，G′（x）=2e2x﹣4x﹣3=2（e2x﹣2x﹣ ），

设H（x）=e2x﹣2x﹣ ，H′（x）=2e2x﹣2，

∴x＞0时，e2x＞1，H′（x）＞0，

∴H（x）在（0，+∞）为增函数，

∴G′（x）=2H（x）在（0，+∞）为增函数，

G′（ ）=2（e﹣ ）＞0，G′（ ）=2（ ﹣ ）＜0，

∴G'（x）=0有任一解，设为x0∈（ ， ），

∴x＞0时，x，G′（x），G（x）的变化如下：

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
G′（x）	﹣	0	+
G（x）	↓	极小值	↑

∴G（x）min=G（x0）= ﹣2 ﹣3x0，

∵ ﹣2x0﹣ =0，即 =2x0+ ，

∴G（x）min=﹣2 ﹣x0+ ∈（ ， ），

又∵a∈Z，∴amax=0

【解析】（1）求出函数的导数，求出导函数的导数，求出导函数的单调区间，从而证明函数的单调性即可；（2）求出函数的解析式，问题转化为e2x＞x2+x+1，由x2+x+1＞0，得2x＞ln（x2+x+1），设h（x）=2x﹣ln（x2+x+1），根据函数的单调性求出不等式的解集即可；（3）令G（x）=e2x﹣2x2﹣3x，求出函数的导数，设H（x）=e2x﹣2x﹣ ，根据函数的单调性求出G（x）的最小值，从而求出a的最大值即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．