题目内容
【题目】若函数f(x)=x3﹣ x2+bx+c在x=1时取得极值,且当x∈[﹣1,2]时,f(x)<c2恒成立.
(1)求实数b的值;
(2)求实数c的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x3﹣ x2+bx+c,
∴f′(x)=3x2﹣x+b,
∵x=1是方程3x2﹣x+b=0的一个根,
设另一个根是x0,则 ,
∴x0=﹣ ,b=﹣2
(2)解:由(1)知,f(x)=x3﹣ x2﹣2x+c,
∴f′(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),
令f′(x)=0,解得x1=﹣ ,x2=1;
列表如下:
x | [﹣1,﹣ | ﹣ | (﹣ | 1 | (1,2] |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
由表格知,f(x)取得极大值f(﹣ )=
+c,
又f(2)=2+c,
∴当x=2时,函数取得最大值f(x)max=2+c;
∴2+c<c2,
解得c<﹣1或c>2,
∴c的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)
【解析】(1)求出f(x)的导数f′(x),由函数的零点以及根与系数的关系求出b的值;(2)利用导数求出f(x)在闭区间[﹣1,2]上的最大值f(x)max , 令其小于c2 , 求出c的取值范围.
【考点精析】利用函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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