Question

【题目】在四棱锥中，平面平面， 底面为梯形, ，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；(Ⅱ)见证明；（Ⅲ）见证明

【解析】

（Ⅰ）利用线面平行判定定理即可证明AB∥平面PCD．

（Ⅱ）法一：利用面面垂直的性质即可证明AD⊥平面PCD．法二：在平面PCD中过点D作DH⊥CD，交PC于H，利用面面垂直的性质可证DH⊥平面ABCD，进而利用线面垂直的性质可证DH⊥AD，再根据线面垂直的判定定理即可证明AD⊥平面PCD．

（Ⅲ）法一：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，连接AC，取其中点N，有MN∥PC，即可证明MF与MN重合，即MF就是MC，由MC与PC相交，矛盾，即可问题得证．法二：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，显然F与点C不同，可得P，M，F，C四点在同一个平面α中，即B∈FCα，A∈PMα，α就是点A，B，C确定的平面ABCD，且P∈α，这与P﹣ABCD为四棱锥矛盾，即可得解假设错误，问题得证．

（Ⅰ）因为

平面

平面

所以平面

（Ⅱ）法一：

因为平面平面

平面平面

,平面

所以平面

法二：

在平面中过点作，交于

因为平面平面

平面平面

平面

所以平面

因为平面

所以

又，

所以平面

（Ⅲ）法一：

假设存在棱上点，使得

连接，取其中点

在中，因为分别为的中点，所以

因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合

所以点在线段上，所以是，的交点

即就是

而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证

法二：

假设存在棱上点，使得，显然与点不同

所以四点在同一个平面中

所以 ，

所以 ，

所以就是点确定的平面 ，且

这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证