题目内容
【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，满足 
， 
， 
．
（1）求证：数列 
为等比数列；
（2）求数列{Sn}的前n项和Tn ．
【答案】
（1）证明： 
， 
， 
．
∴n（Sn+1﹣2Sn）=2Sn，
∴ 
=2 
，
∴a1=1，
∴ 
=1，
∴数列 
是以1为首项，以2为公比的等比数列
（2）证明：由（1）知 
，
∴ 
，
∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n2n﹣1，
∴2Tn=1×21+2×22+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，
由错位相减得﹣Tn=1+21+22+…+2n﹣1﹣n2n= 
﹣n2n=2n﹣1﹣n2n=（1﹣n）2n﹣1，
∴Tn=（n﹣1）2n+1
【解析】（1）先根据向量的平行得到n（Sn+1﹣2Sn）=2Sn ， 继而得到 =2 ，问题得以证明，（2）由（1）可得以 ，由错位相减法即可求出数列{Sn}的前n项和Tn ．
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