题目内容

【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acosB=bcosA.
(1)判断△ABC的形状;
(2)求sin(2A+ )﹣2cos2B的取值范围.

【答案】
(1)解:由acosB=bcosA,结合正弦定理可得,sinAcosB=cosAsinB,

即sinAcosB﹣cosAsinB=0,得sin(A﹣B)=0,

∵A,B∈(0,π),

∴A﹣B∈(﹣π,π),则A﹣B=0,

∴A=B,即△ABC为等腰三角形


(2)解:sin(2A+ )﹣2cos2B=sin2Acos +cos2Asin ﹣2cos2B

= ﹣(1+cos2B)= ﹣cos2A﹣1

= =

∵0 ,∴

即sin(2A+ )﹣2cos2B的取值范围是


【解析】(1)由已知等式结合正弦定理化边为角,再由两角差的余弦求得sin(A﹣B)=0,可得A=B,则△ABC为等腰三角形;(2)把sin(2A+ )﹣2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简,得到关于A的三角函数,再由A的范围求得答案.

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