Question

【题目】已知f（x）是定义在[m，n]上的函数，记F（x）=f（x）﹣（ax+b），|F（x）|的最大值为M（a，b）．若存在m≤x1＜x2＜x3≤n，满足|F（x1）|=M（a，b），F（x2）=﹣F（x1）．F（x3）=F（x1），则称一次函数y=ax+b是f（x）的“逼近函数”，此时的M（a，b）称为f（x）在[m，n]上的“逼近确界”．
（1）验证：y=4x﹣1是g（x）=2x2 ， x∈[0，2]的“逼近函数”；
（2）已知f（x）= ，x∈[0，4]，F（0）=F（4）=﹣M（a，b）．若y=ax+b是f（x）的“逼近函数”，求a，b的值；
（3）已知f（x）= ，x∈[0，4]的逼近确界为 ，求证：对任意常数a，b，M（a，b）≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：记G（x）=2x2﹣（4x﹣1）=2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．则|G（x）|的最大值为1，

且G（0）=1，G（1）=﹣1，G（2）=1．故y=4x﹣1是g（x）=2x2，x∈[0，2]的“逼近函数”．

（2）解：F（x）= ﹣（ax+b），由 ，可得M（a，b）=b，a= ．

存在x0∈（0，4）满足F（x2）=M（a，b），即F（a，b）max=F（x2）=b，

即F（x）= ﹣ x﹣b=﹣ + ﹣b，故x2=1．

由F（1）= ﹣b=b，可得b=

（3）解：证明：M（a，b）= = |t﹣at2﹣b

|= ．

当 [0，2]时，2M（a，b）≥|b|+|2﹣4a﹣b|≥|2﹣4a|＞1，故M（a，b）≥

【解析】（1）记G（x）=2x2﹣（4x﹣1）=2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．利用二次函数的单调性可得|G（x）|的最大值为1，且G（0）=1，G（1）=﹣1，G（2）=1．（2）F（x）= ﹣（ax+b），由 ，可得M（a，b）=b，a= ．存在x0∈（0，4）满足F（x2）=M（a，b），即F（a，b）max=F（x2）=b，即可得出．（3）M（a，b）= = |t﹣at2﹣b|= ．即可得出．