题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若曲线与
在公共点
处有相同的切线,求实数
的值;
(2)当时,若曲线
与
在公共点
处有相同的切线,求证:点
唯一;
(3)若,
,且曲线
与
总存在公切线,求:正实数
的最小值.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)1.
【解析】试题分析:(1)曲线
与
在公共点
处有相同的切线,
,解出即可;(2)设
,由题设得
,转化为关于
的方程只有一解,进而构造函数转化为函数只有一个零点,利用导数即可证明;(3)设曲线
在点
处的切线方程为
,则只需使该切线与
相切即可,也即方程组
,只有一解即可,所以消去
后
,问题转化关于
方程总有解,分情况借助导数进行讨论即可求得
值.
试题解析:(1),
.∵曲线
与
在公共点
处有相同的切线∴
, 解得,
.
(2)设,则由题设有
… ①又在点
有共同的切线
∴代入①得
设,则
,
∴在
上单调递增,所以
=0最多只有
个实根,
从而,结合(Ⅰ)可知,满足题设的点只能是
(3)当,
时,
,
,
曲线在点
处的切线方程为
,即
.
由,得
.
∵ 曲线与
总存在公切线,∴ 关于
的方程
,
即
总有解.
若,则
,而
,显然
不成立,所以
.
从而,方程可化为
.
令,则
.
∴ 当时,
;当
时,
,即
在
上单调递减,在
上单调递增.∴
在
的最小值为
,
所以,要使方程有解,只须
,即
.
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