题目内容
【题目】我们知道一次函数、二次函数的图像都是连续不断的曲线，事实上，多项式函数的图像都是如此.
（1）设
，且
，若还有
，求证：
；
（2）设一个多项式函数有奇次项
（
），求证：总能通过只调整的系数，使得调整后的多项式一定有零点；
（3）现有未知数为
的多项式方程
（其中实数
待定），甲、乙两人进行一个游戏：由甲开始交替确定
中的一个数（每次只能去确定剩余还未定的数），当甲确定最后一个数后，若方程由实数解，则乙胜，反之甲胜，问：乙有必胜的策略吗？若有，请给出策略并证明，若无，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）乙有必胜的策略，证明见解析
【解析】
（1）对
分两种情况
和
讨论证明；（2）记此多项式函数为
,
,
为
项系数，分析得到
，再利用零点存在性定理证明可得；（3）乙有必胜的策略. 乙前4次尽量去定偶次项系数，就能保证甲第5次只能去定一个奇数项的系数.再证明得解.
（1）若，则
；
若，则
.
综合得
得证.
(2)记此多项式函数为,,为项系数，
时，
，
同理：
，
故由零点存在定理可知调整后的多项式函数一定在(-1,1)上存在零点.
（3）乙有必胜的策略.
因待定系数的项共有5个奇数项，而在乙最后一次定数前，甲只定了4个系数，故乙前4次尽量去定偶次项系数，就能保证甲第5次只能去定一个奇数项的系数.
设甲第5次确定了奇数项为
的系数为
设乙第4次确定
项的系数为，并设此时多项式函数为
，则有
由（1）式乘
再加（2）式可得
，
故当乙在第四轮确定的系数
时，有
，结合第（1）小题结论即知
，故由零点存在性定理即得乙的上述策略是必胜的.
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