题目内容

【题目】如图,已知椭圆的长轴长为4,离心率为,过点的直线l交椭圆于两点,与x轴交于P点,点关于轴的对称点为,直线轴于点.

(1)求椭圆方程;

(2)求证:为定值.

【答案】(1)(2)见解析

【解析】

(1)根据题意,由椭圆的长轴长可得a的值,结合椭圆的离心率公式可得c的值,结合椭圆的几何性质可得b的值,将ab的值代入椭圆的方程即可得答案;

(2)设直线PQ的方程为,可得P的坐标,设,则由两点式写出BC直线方程,得到Q点坐标为

直线方程将直线与椭圆的方程联立,可得由根与系数的关系分析可得,用k表示Q点坐标为,化简即可得答案.

(1)由题意得解得

所以椭圆方程为

(2)直线方程为,则的坐标为

,则

直线方程为,令,得的横坐标为

,得

代入①得

为常数4.

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