题目内容
【题目】如图,已知椭圆的长轴长为4,离心率为,过点的直线l交椭圆于两点,与x轴交于P点,点关于轴的对称点为,直线交轴于点.
(1)求椭圆方程;
(2)求证:为定值.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)根据题意,由椭圆的长轴长可得a的值,结合椭圆的离心率公式可得c的值,结合椭圆的几何性质可得b的值,将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案;
(2)设直线PQ的方程为,可得P的坐标,设,,则,由两点式写出BC直线方程,得到Q点坐标为
直线方程将直线与椭圆的方程联立,可得,由根与系数的关系分析可得,用k表示Q点坐标为,化简即可得答案.
(1)由题意得解得
所以椭圆方程为
(2)直线方程为,则的坐标为
设,,则,
直线方程为,令,得的横坐标为①
又得,得
代入①得
得
∴为常数4.
练习册系列答案
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【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.