题目内容

【题目】已知实数,函数.

(Ⅰ)证明:对任意恒成立;

(Ⅱ)如果对任意均有,求的取值范围.

【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)求导得到函数,故只需证,设,求导得到,得到证明.

(Ⅱ)对任意有意义,,令可得, 所以,再证明对任意,任意,不等式恒成立,考虑关于的函数,根据其单调性得到,计算函数单调性得到证明.

(Ⅰ)易知的定义域为

,则

单调增,在单调减,

所以.

要证恒成立,只需证.

.

,函数在上单调递增,在上单调递减,

,由于

,即恒成立.

(Ⅱ),即.*

*)对任意有意义,

时,,∴

若(*)对任意恒成立,则.

特别地,在(*)中令可得

.

注意到单调增,

,所以当且仅当.

下面证明:对任意,任意,不等式(*)恒成立.

首先,将正实数给定,考虑关于的函数

注意到单调增,

.

下面只需说明:对于恒成立即可.

显然,故只需说明单调增,在单调减.

时,

时,

.因此单调增,在单调减.

综上可知,实数的取值范围是.

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