题目内容
【题目】已知实数,函数.
(Ⅰ)证明:对任意,恒成立;
(Ⅱ)如果对任意均有,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求导得到函数,故只需证,设,求导得到,得到证明.
(Ⅱ)对任意有意义,,令可得, 所以,再证明对任意,任意,不等式恒成立,考虑关于的函数,根据其单调性得到,计算函数单调性得到证明.
(Ⅰ)易知的定义域为,
若,则,
,
则在单调增,在单调减,
所以.
要证恒成立,只需证.
令,.
,函数在上单调递增,在上单调递减,
故,由于,
∴,即恒成立.
(Ⅱ),即.(*)
1°(*)对任意有意义,
当时,,∴;
2°若(*)对任意恒成立,则.
特别地,在(*)中令可得,
故.
注意到在单调增,
且,所以当且仅当.
3°下面证明:对任意,任意,不等式(*)恒成立.
首先,将正实数给定,考虑关于的函数,
注意到在单调增,
故.
下面只需说明:对于恒成立即可.
显然,故只需说明在单调增,在单调减.
当时,,
故;
当时,,
故.因此在单调增,在单调减.
综上可知,实数的取值范围是.
【题目】某城市对一项惠民市政工程满意程度(分值:分)进行网上调查,有2000位市民参加了投票,经统计,得到如下频率分布直方图(部分图):
现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取位市民召开座谈会,其中满意程度在的有5人.
(1)求的值,并填写下表(2000位参与投票分数和人数分布统计);
满意程度(分数) | |||||
人数 |
(2)求市民投票满意程度的平均分(各分数段取中点值);
(3)若满意程度在的5人中恰有2位为女性,座谈会将从这5位市民中任选两位发言,求男性甲或女性乙被选中的概率.
【题目】2020年寒假,因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习,为了研究学生网上学习的情况,某学校随机抽取名学生对线上教学进行调查,其中男生与女生的人数之比为,抽取的学生中男生有人对线上教学满意,女生中有名表示对线上教学不满意.
(1)完成列联表,并回答能否有的把握认为“对线上教学是否满意 与性别有关”;
态度 性别 | 满意 | 不满意 | 合计 |
男生 | |||
女生 | |||
合计 | 100 |
(2)从被调查的对线上教学满意的学生中,利用分层抽样抽取名学生,再在这名学生中抽取名学生,作线上学习的经验介绍,求其中抽取一名男生与一名女生的概率.
附:.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |