题目内容

已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax(a>0且a≠1).
(1)求证:f(2x)=2f(x)g(x);
(2)设f(x)的反函数f-1(x),当a=
2
-1
时,比较f-1[g(x)]与-1的大小,证明你的结论;
(3)若a>1,n∈N*,且n≥2,比较f(n)与nf(1)的大小,并证明你的结论.
分析:(1)以-x代x得f(-x)=g(-x)+a-x再根据函数的奇偶性进行化简,得到关于f(x)与g(x)的方程组,解之即可求出函数f(x)的解析式,从而证得f(2x)=2f(x)g(x);
(2)根据互为反函数的单调性的关系可得出y=f-1(x)是R上的减函数,再将-1代入,可求出f(-1)的值,结合反函数的单调性比较大小即得;
(3)欲比较f(n)与nf(1)的大小,先作差,再构成函数?(x)=
1
2
(xn-x-n-nx+n•x-1)
.根据导数研究此函数的单调性,从而得到证明.
解答:证明:(1)∵f(x)+g(x)=ax,∴f(-x)+g(-x)=a-x
∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴-f(x)+g(x)=a-x…2分
∴f(x)=
ax-a-x
2
,g(x)=
ax+a-x
2
. …3分
∴f(x)g(x)=
ax-a-x
2
ax+a-x
2
=
a2x-a-2x
4
=
1
2
f(2x)
,即f(2x)=2f(x)g(x).…5分
(2)∵0<a=
2
-1<1
,∴f(x)=
ax-a-x
2
是R上的减函数,
∴y=f-1(x)是R上的减函数.…6分
又∵f(-1)=
(
2
-1)
-1
-(
2
-1)
1
2
=1

g(x)≥2
ax
2
a-x
2
=1=f(-1)

∴f-1[g(x)]≤-1.…8分
(3)f(n)-nf(1)=
an-a-n
2
-n•
a-a-1
2
=
1
2
(an-a-n-na+n•a-1)
.10分
构成函数?(x)=
1
2
(xn-x-n-nx+n•x-1)

∵?′(x)=
1
2
[nxn-1+n•x-(n+1)-n-n•x-2]=
n
2
[(xn-1-1)+
1
xn+1
(1-xn-1)]
,=
n
2
(xn-1-1)(1-
1
xn+1
).
,& & & 
…12分

当x>1,n≥2时,∅'(x)>0,
∴∅(x)在[1,+∞)上是增函数.
a>1时,∅(a)>∅(1),即
1
2
(an-a-n-na+na-1)>
1
2
(1-1-n+n)=0,
∴f(n)-nf(1)>0,即f(n)>nf(1).(13分).
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数与方程的综合运用等基础知识,考查运算求解能力,根据函数的奇偶性与题设中所给的解析式求出两个函数的解析式,此是函数奇偶性运用的一个技巧.属于基础题.
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