Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，-2），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求sinθ和cosθ的值．

Answer 1

分析 由已知可得sinθ=2cosθ，联立sin²θ+cos²θ=1，结合θ的范围求得sinθ和cosθ的值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（sinθ，-2），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=sinθ-2cosθ=0$，
∴sinθ=2cosθ，
又sin²θ+cos²θ=1，
联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cosθ=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cosθ=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$．
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos$θ=\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数的求值，是中档题．