Question

5．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，N，M分别是PC，AB的中点，MN⊥PC，MN⊥AB，AC：MN=2：$\sqrt{3}$．
（1）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（2）求异面直线MN，AC所成的角．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点H，连接MH，AH，运用中位线定理证得四边形MNAH为平行四边形，即有MN∥AH，再由线面垂直的性质和判定，以及面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）由MN∥AH，可得∠HAC或补角即为异面直线MN，AC所成的角．通过解直角三角形，即可得到所求角的度数．

解答 （1）证明：取PD的中点H，连接MH，AH，
由中位线定理，可得MH∥CD，且MH=$\frac{1}{2}$CD，
又AN∥CD，且AN=$\frac{1}{2}$CD，
即有MH∥AN，且MH=AN，
可得四边形MNAH为平行四边形，
即有MN∥AH，
由MN⊥AB，MN⊥PC，
可得MN⊥CD，
即有MN⊥平面PCD，
则有AH⊥平面PCD，
又AH?平面PAD，
则有平面PAD⊥平面PCD；
（2）解：由MN∥AH，
可得∠HAC或补角即为异面直线MN，AC所成的角．
由AH⊥平面PCD，连接CH，
CH?平面PCD，即有AH⊥CH，
在直角△AHC中，cos∠HAC=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{MN}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有∠HAC=30°．
故异面直线MN，AC所成的角为30°．

点评 本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直的性质和判定，同时考查异面直线所成角的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．