Question

3．若a、b是方程x+lgx=4，x+10^x=4的解，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（a+b）x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，则关于方程x的方程f（x）=x的解的个数是3．

Answer 1

分析 先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10^x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数．

解答 解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10^x=4，
∴a，b分别为函数y=4-x与函数y=lgx，y=10^x图象交点的横坐标，
由于y=x与y=4-x图象交点的横坐标为2，
函数y=lgx，y=10^x的图象关于y=x对称，
∴a+b=4，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，
当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x²+4x+2=x，即x²+3x+2=0，
∴x=-2或x=-1，满足题意；
当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意．
∴关于x的方程f（x）=x的解的个数是3．
故答案为：3．

点评 本题考查函数与方程的关系，考查根的个数的研究，解题的关键是求出分段函数的解析式，有一定的综合性．