题目内容
【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1 , F2 , 抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点,且椭圆C过点
. (I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若椭圆C的右顶点为A,直线l交椭圆C于E、F两点(E、F与A点不重合),且满足AE⊥AF,若点P为EF中点,求直线AP斜率的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可得:抛物线y2=4x的焦点(1,0)与椭圆C有相同的焦点,即c=1, a2=b2+c2=b2+1,
由椭圆C过点 ,代入椭圆方程:
,解得:a=2,b=
,
则椭圆的标准方程为 ;
(Ⅱ)设直线AE的方程为y=k(x﹣2),
则 ,可得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0,
由2+xE= ,可得xE=
,yE=k(xE﹣2)=﹣
,
由于AE⊥AF,只要将上式的k换为﹣ ,可得xF=
,yF=
,
由P为EF的中点,
即有P( ,
),
则直线AP的斜率为t= =
,
当k=0时,t=0;当k≠0时,t= ,
再令s= ﹣k,可得t=
,
当s=0时,t=0;当s>0时,t= ≤
=
,
当且仅当4s= 时,取得最大值;
综上可得直线AP的斜率的最大值为
【解析】(I)由题意可知:抛物线y2=4x的焦点(1,0),c=1,将点 代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)设直线AE的方程为y=k(x﹣2),代入椭圆方程由韦达定理,求得E点坐标,由AE⊥AF,及中点坐标公式求得P坐标及直线AP的方程,当k≠0时,t=
,利用换元法及基本不等式的性质,即可求得直线AP斜率的最大值.

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