Question

13．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：
（1）AE=AB；
（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．

Answer 1

分析 （1）通过证明△AEM≌△DCM（AAS），然后推出AE=AB．
（2）说明∠ABM=∠CBM，推出∠CBM=∠AMB，得到∠ABM=∠AMB，然后证明∠EMB=90°，即可证明BM⊥CE．

解答 （本小题满分8分）
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠E=∠DCM，
在△AEM和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}∠E=∠DCM\\∠AME=∠DMC\\ AM=DM\end{array}\right.$，∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE=CD，∴AE=AB；--------------------------（4分）
（2）∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，
∴∠ABM=∠AMB，∴AB=AM，∠ABM=∠AMB，
∵AB=AE，∴∠AME=∠E，∴2∠AME+2∠AMB=180°
∴∠EMB=90°，即BM⊥CE．---------------------------------（8分）

点评 本题考查三角形全等，证明直线与直线的垂直，考查推理与证明的能力．