题目内容

【题目】已知函数为常数).

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,设的两个极值点恰为的零点,求的最小值.

【答案】(1)时,的单调递增区间为,单调递减区间减区间为,当时,的单调递增区间为.(2)

【解析】

试题分析:(1)先求函数导数,讨论导函数符号变化规律:当时,导函数不变号,故的单调递增区间为.当时,导函数符号由正变负,即单调递增区间为,单调递减区间减区间为(2)先求导数得为方程的两根,再求导数得,因此,而由的零点,得,两式相减得,即得,因此,从而,其中根据韦达定理确定自变量范围:因为

,所以

试题解析:(1),当时,由解得,即当时,单调递增, 解得,即当时,单调递减,当时,,即上单调递增,当时,,即上单调递增,所以当时,的单调递增区间为,单调递减区间减区间为,当时,的单调递增区间为.

(2),则,所以的两根 即为方程的两根. 因为,所以,又因为的零点,所以,两式相减得,得,而,

所以

,由

因为,两边同时除以,得,因为,故,解得,所以,设,所以,则上是减函数,所以,即的最小值为.

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