Question

11．对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对于任意的x∈[m，n]，都有|f（x）-g（x）|≤1恒成立，则称f（x）与g（x）在区间[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的，现有函数f₁（x）=log_a（x-3a），f₂（x）=log_a$\frac{1}{x-a}$（a＞0，a≠1）给定一个区间[a+2，a+3]．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，判断f₁（x）与f₂（（x）在区间[a+2，a+3]上是否是接近的，并说明理由；
（2）若f₁（x）与f₂（x）在区间[a+2，a+3]上是接近的，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f₁（x）-f₂（（x）的单调性和最值，可得|f₁（x）-f₂（x）|∈[1，log₂6]，由新定义即可判断；
（2）f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的?|f₁（x）-f₂（x）|≤1?|log_a（x-3a）-log_a$\frac{1}{x-a}$|≤1?|log_a[（x-3a）（x-a）]|≤1?a≤（x-2a）²-a²≤$\frac{1}{a}$对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，函数f₁（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-$\frac{3}{2}$），f₂（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$，
f₁（x）-f₂（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-$\frac{3}{2}$）-$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{1}{2}$）
=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[（x-1）²-$\frac{1}{4}$]在区间[$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$]上递减，
即有x=$\frac{5}{2}$时，取得最大值，且为-1，
x=$\frac{7}{2}$时，取得最小值，且为-log₂6，
则|f₁（x）-f₂（x）|∈[1，log₂6]，
即有|f₁（x）-f₂（x）|＞1．
则f₁（x）与f₂（x）在区间[a+2，a+3]上是非接近的；
（2）f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，
即为|f₁（x）-f₂（x）|≤1?|log_a（x-a）-log_a$\frac{1}{x-a}$|≤1
?|log_a（x-3a）（x-a）|≤1
?a≤（x-2a）²-a²≤$\frac{1}{a}$对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
设h（x）=（x-2a）²-a²，x∈[a+2，a+3]，
且其对称轴x=2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，
?$\left\{\begin{array}{l}{a≤h（x）_{min}}\\{\frac{1}{a}≥h（x）_{max}}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≤h（a+2）}\\{\frac{1}{a}≥h（a+3）}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≤4-4a}\\{\frac{1}{a}≥9-6a}\end{array}\right.$
?$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{4}{5}}\\{a≤\frac{9-\sqrt{57}}{12}或a≥\frac{9+\sqrt{57}}{12}}\end{array}\right.$?0＜a≤$\frac{9-\sqrt{57}}{12}$，
所以，当0＜a≤$\frac{9-\sqrt{57}}{12}$，f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的．

点评 本题考查新定义和对数函数的性质和应用，解题时要注意函数恒成立的充要条件的合理运用．