Question

7．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a-b=2，c=4，sinA=2sinB．
（1）求△ABC的面积；
（2）求tan（A-B）．

Answer 1

分析 （1）已知等式sinA=2sinB利用正弦定理化简得到a=2b，与a-b=2联立求出a与b的值，再由余弦定理求出cosB的值，进而求出sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积；
（2）由cosA的值求出sinA的值，进而求出sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，确定出tanA与tanB的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）由sinA=2sinB，根据正弦定理得a=2b，
又∵a-b=2，
∴a=4，b=2，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{16+16-4}{2×4×4}$=$\frac{7}{8}$＞0，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\sqrt{15}$；
（2）∵cosA=$\frac{1}{4}$＞0，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴sinB=$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∵b＜c，∴B＜C，
∴0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{7}{8}$，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{15}$，tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\sqrt{15}}{7}$，
∴tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{15}-\frac{\sqrt{15}}{7}}{1+\sqrt{15}×\frac{\sqrt{15}}{7}}$=$\frac{3\sqrt{15}}{11}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．