Question

【题目】设数列{an}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p＝2（a1+a2…+an），（其中k、b、p是常数）.

（1）当k＝0，b＝3，p＝﹣4时，求a1+a2+a3+…+an；

（2）当k＝1，b＝0，p＝0时，若a3＝3，a9＝15，求数列{an}的通项公式；

（3）若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当k＝1，b＝0，p＝0时，设Sn是数列{an}的前n项和，a2﹣a1＝2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{an}，使得对任意n∈N*，都有Sn≠0，且.若存在，求数列{an}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）an＝2n﹣3（3）存在；a1＝4或a1＝6或a1＝8或a1＝10

【解析】

（1）当k＝0，b＝3，p＝﹣4时，3（a1+an）﹣4＝2（a1+a2+…+an），再写一式，两式相减，可得数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+an；

（2）当k＝1，b＝0，p＝0时，n（a1+an）＝2（a1+a2+…+an），再写一式，两式相减，可得数列{an}是等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；

（3）确定数列{an}的通项，利用{an}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{an}的首项a1的所有取值.

（1）当k＝0，b＝3，p＝﹣4时，3（a1+an）﹣4＝2（a1+a2+…+an），①

用n+1去代n得，3（a1+an+1）﹣4＝2（a1+a2+…+an+an+1），②

②﹣①得，3（an+1﹣an）＝2an+1，an+1＝3an，

在①中令n＝1得，a1＝1，则an≠0，∴，

∴数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，

∴a1+a2+a3+…+an；

（2）当k＝1，b＝0，p＝0时，n（a1+an）＝2（a1+a2+…+an），③

用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）＝2（a1+a2+…+an+an+1），④

④﹣③得，（n﹣1）an+1﹣nan+a1＝0，⑤

用n+1去代n得，nan+2﹣（n+1）an+1+a1＝0，⑥

⑥﹣⑤得，nan+2﹣2nan+1+nan＝0，即an+2﹣an+1＝an+1﹣an，

∴数列{an}是等差数列.

∵a3＝3，a9＝15，∴公差，∴an＝2n﹣3.

（3）由（2）知数列{an}是等差数列，∵a2﹣a1＝2，∴an＝a1+2（n﹣1）.

又{an}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m﹣1）＝a1+2（p﹣1），

得a1＝2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，

又由已知，，故，

一方面，当时，数列{an}中每一项均为正数，

故对任意n∈N*，都有，

另一方面，当a1＝2时，Sn＝n（n+1），，

则，

取n＝2，则，不合题意；

当a1＝4时，Sn＝n（n+3），，则，符合题意；

当a1≥6时，Sn＝n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，

则当a1≥6时，均符合题意；

又，

∴a1＝4或a1＝6或a1＝8或a1＝10.